《振動噪音科普專欄》正弦波及餘弦波有甚麼關聯性嗎?

在振動噪音信號的解析,常會以單一頻率的正弦波(sine wave)或餘弦波(cosine wave)來介紹振動的位移、速度及加速度的波動現象,或是說明聲音壓力的聲波波動現象,那麼正弦波與餘弦波之間有甚麼關聯性嗎?為什麼有時候說正弦波,有時候又說餘弦波呢?另外,也會有稱為簡諧波(harmonic wave),簡諧波是怎樣的波?本單元就來說明,這三個名詞之間到底有甚麼關係呢?

首先,綜合寫出此三個名詞以及其數學方程式,列出如下:

1.     正弦波(sine wave)x(t)=X*sin(ωt)
2.     餘弦波(cosine wave) x(t)=X*cos(ωt)
3.     簡諧波(harmonic wave) x(t)=X*sin(ωt)x(t)=X*cos(ωt)x(t)=X*exp(iωt)

其中,X為弦波的振幅(amplitude)ω=2πf為弦波的圓周頻率(circular frequency),單位:rad/secf為弦波的頻率(frequency),單位:Hz。備註:以上方程式忽略了相位角,便於本單元說明三個名詞的關聯性,可參閱【正弦波的相位角是甚麼?】單元。

就名詞上來說,簡諧波可以說是正弦波及餘弦波的通稱,更明確的說法是單一頻率的簡諧波。

正弦波與餘弦波在波型的本質上是相同的,僅是有相位角的差異,前文解釋過【正弦波的相位角是甚麼?】,本單元會再深入說明正弦波與餘弦波之間的關係,就是相差了90度相位角。

前文,【餘弦波(cosine wave)之數學意義、幾何意義、物理意義?】,就有解釋了餘弦波的幾何意義,要區別正弦波與餘弦波,還是需要由幾何意義的波動曲線圖示,比較能夠說明兩者間的差異,確實只有90度相位角的差異。

參考圖1,分別呈現了正弦波與餘弦波的數學方程式以及波動曲線示意圖。圖2則是說明了正弦波與餘弦波之間,就是相差π/2、或是90度的相位角。也就是波動的曲線特徵,正弦波與餘弦波其實是相同的,只是t=0的參考點位置有所不同。

從波型的幾何圖示,是可以看出正弦波與餘弦波的相位角差異,以及波動的相同特徵。在數學方程式上,就分別有sin cos 函數的定義,爾後單元我們也會介紹以 exponential函數來表示簡諧波的方式。

綜合以上討論,總結如下:
1.     正弦波與餘弦波,分別是以sin cos 函數,定義了兩者的數學方程式,各有其數學意義。
2.     正弦波與餘弦波的波動曲線幾何意義,就波動的特徵而言,本質上是相同的,只是因為t=0的參考點位置不同,而有不同的數學方程式表示。
3.     不管是以正弦波sin函數、或是以餘弦波cos函數,來描述表示一個單一頻率的波動訊號,這樣的波動訊號,都可以泛稱為簡諧波。
4.     簡諧波包含了正弦波與餘弦波。
5.     簡諧波是簡稱,完整的說法是:單一頻率的簡諧波。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2017.12.06










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