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《振動噪音科普專欄》振動的功率頻譜和三分之一倍頻頻譜有甚麼不同?

這個單元要來探討的主題是:振動的功率頻譜(power spectrum)三分之一倍頻頻譜(one third octave band spectrum)有甚麼不同?

 

這是接續上一個單元:#360,【振動的傅立葉頻譜和功率頻譜有甚麼不同?】,一般常說頻譜(spectrum),就有傅立葉頻譜(Fourier spectrum)以及「功率頻譜(power spectrum)兩者是有很大的差異。這個單元再介紹另一種頻譜,就是「三分之一倍頻頻譜(one third octave band spectrum)

 

參閱圖示左上方,顯示先前單元:#109對一個信號進行頻譜分析的原理為何?】,振動的加速度量測信號的頻譜分析流程圖,可以知道有哪些Index 指標。數據的Analysis 分析流程是由左向右 𝒂(𝒕) 𝑨(𝒇) 𝑮𝒂𝒂(𝒇) 𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) 𝑳𝒂,𝒆𝒒,可以取得各個評估振動加速度Index 指標

 

事實上,在先前單元:#358聲音的功率頻譜和三分之一倍頻頻譜有甚麼不同?】,有討論了聲音的功率頻譜以及三分之一倍頻頻譜,其中,信號分析的原理完全相同,只是分析的對象,由聲音的聲音壓力,改變為振動的加速度

 

本單元著重在區別:振動的加速度 功率頻譜𝑮𝒂𝒂(𝒇)以及「三分之一倍頻頻譜𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄),實務上,如何取得 𝑮𝒂𝒂(𝒇)以及 𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)?以及說明取得 𝑳𝒂,𝒆𝒒的理念。

 

參閱圖示右邊的系列圖示,依序說明如下:

 

1.      𝒂(𝒕) = time waveform = 時間波形:量測到的振動加速度響應 𝒂(𝒕),是量測的原始數據(measured raw data)。本案例,總量測時間:Ttotal = 64 s,設定的平均次數:AVG = 100,所以,一個FFT的分析時間長度,T = Ttotal/AVG = 64/100 = 0.64 s

2.      𝑨(𝒇) = Fourier spectrum = 傅立葉頻譜:對 𝒂(𝒕)進行FFT快速傅立葉轉換(fast Fourier transform, FFT)處理,可以得到𝑨(𝒇) 傅立葉頻譜。而理論上,是透過傅立葉轉換(Fourier transform),由 𝒑(𝒕)取得𝑨(𝒇),數學表示式:𝑨(𝒇)=𝓕[𝒂(𝒕)],其中,𝓕[ ]代表傅立葉轉換運算子,是積分計算。本案例,平均次數:AVG = 100,會有100𝑨(𝒇),圖示呈現的是𝑨(𝒇) 的振幅值|𝑨(𝒇)|,由於沒有平均,看到的頻譜,不具代表性,通常並不會深入探討,可以視為過程資訊。然而,通常有興趣的平均頻譜是 𝑮𝒂𝒂(𝒇)

3.      𝑮𝒂𝒂(𝒇) = acceleration spectrum = 振動加速度頻譜:取得的 𝑨(𝒇),透過PSD (power spectral density, PSD)處理,可以取得振動加速度的功率頻譜(power spectrum, auto PSD spectrum) 𝑮𝒂𝒂(𝒇),可簡稱加速度頻譜(acceleration spectrum)。數學表示式:𝑮𝒂𝒂(𝒇)= 𝑨(𝒇) 𝑨(𝒇)/𝜟𝒇,其中,是取共軛複數(complex conjugate)𝜟𝒇 = R =頻率解析度,所以,𝑮𝒂𝒂(𝒇)是純實數,可以取平均。本案例,如圖示的𝑮𝒂𝒂(𝒇),是AVG = 100次的平均。注意:𝑮𝒂𝒂(𝒇)可以有兩種單位的呈現方式,分別是 dB 以及 dBAdB是原始的加速度頻譜,而dBA則是比照A加權(A weighted)處理的加速度頻譜。讀者可參考單元:#54聲音壓力位準dBdB(A)有甚麼不同?】。因為,噪音常常是由振動所引發的,在觀察加速度頻譜,除了dB之外,也可同步觀察dBA,以對應聲音頻譜的特性。另外,加速度功率頻譜𝑮𝒂𝒂(𝒇),繪圖呈現的方式,x軸:物理量 = 頻率 (Hz),是可以取LIN (linear) 或是 LOG (logarithmic)座標。x軸,會取LOG座標,主要是配合人體感官的感覺效果,人體對頻率的變動感知聽覺、或感覺是LOG,而不是LIN。另外,也是配合後續的三分之一倍頻頻譜𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)的處理與比較。

4.      𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) = 1/3 octave band spectrum = 三分之一倍頻頻譜:再由𝑮𝒂𝒂(𝒇),進行三分之一倍頻(one third octave band)處理,可以取得 𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄),主要是配合人體感官的感知效果。參閱圖示可知,𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)同樣也可以有兩種單位的呈現方式,分別是 dB 以及 dBA 如何取得 𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)呢?要先瞭解先前單元:#105甚麼是三分之一八音頻帶(one third octave band)】。參閱圖示表格,顯示了三分之一八音頻帶的定義,包括:中心頻率(center frequency) 𝒇𝒄,下限頻率(lower bound frequency) 𝒇𝒍,上限頻率(upper bound frequency) 𝒇𝒖。可參閱圖示的積分方程式,物理意義說明如下:透過對 𝑮𝒂𝒂(𝒇)取上下限頻帶的積分,也就是𝑮𝒂𝒂(𝒇)曲線和x軸的所圍面積,也就是該頻率區間的總能量,再取根號,就可以得到該中心頻率的加速度RMSg 最後,將g單位的加速度,轉換為dB單位的加速度位準、或稱加速度級。相較於dB𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)dBA𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)在低頻率區,加速度值明顯的變低了,這就是A加權的效應,因為人耳對低頻率的聽感,比較不靈敏。在此要注意:對於噪音的高貢獻度頻帶之評估,要以聲音壓力dBA𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)為準。實務上,如果只是處理振動問題,會是以dB𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)為主。若是處理振動與噪音相關的議題,則建議同時觀察dBA𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄),可以對應噪音響應的關係。

5.      𝑳𝒂,𝒆𝒒 = equivalent acceleration level = 等效加速度位準/加速度級:由𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄),可以累加 𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) 每一個 𝒇𝒄 中心頻率(central frequency)加速度位準dB,進而得到𝑳𝒂,𝒆𝒒。簡單說,就是在量測時間內的加速度量大小之平均值,實際上是均能 (equivalent energy)的概念。本案例分別是𝑳𝒂,𝒆𝒒 = 118.44 dB,以及 𝑳𝒂,𝒆𝒒 = 118.36 dBA𝑳𝒂,𝒆𝒒 dBA會比較低的原因,就是因為低頻率區,有了A加權的效應,不過,在此案例,兩者的數值很相近,主要原因是主要的振動是來自高頻率的貢獻。

6.      𝑮𝒂𝒂(𝒕,𝒇) = spectrogram = 時頻圖:必須透過時頻分析(time frequency analysis),常用短時傅立葉轉換(short time Fourier transform, STFT)處理,以得到時頻圖。本單元暫不深入討論。

7.      𝑳𝒂(𝒕) = sound pressure level = 聲音壓力位準/聲壓級:對應時間軸,每一個瞬間的聲音壓力位準/聲壓級。本單元暫不深入討論。

 

由以上說明,大致解釋了振動加速度量測信號的頻譜分析流程,可以知道有哪些Index 指標。本單元著重在區別:振動加速度功率頻譜𝑮𝒂𝒂(𝒇)以及「三分之一倍頻頻譜𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄),實務上,如何取得 𝑮𝒂𝒂(𝒇)以及 𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)?以及說明取得 𝑳𝒂,𝒆𝒒的理念。

 

接下來,針對如何解讀振動加速度量測信號的分析數據以及相關圖示呢?參閱圖示左邊上方流程圖,數據的Analysis 分析流程是由左向右,以取得各個評估噪音的Index 指標,而Diagnosis 診斷流程則是由右向左。

 

Diagnosis 診斷流程之建議,如果,只是單純的處理振動大的問題,建議的順序步驟如圖示的橘色標註編號,順序步驟說明如下:

 

1.      觀察𝑳𝒂,𝒆𝒒 dB:也就是瞭解振動加速度總量的OA(overall value),亦即均能加速度位準/加速度級,單位:dB。本案例:𝑳𝒑,𝒆𝒒 = 118.44 dB

2.      觀察dB𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄):目的在瞭解主要振動加速度貢獻頻帶。本案例,高貢獻度頻帶是 𝒇𝒄 = 4000 Hz 以及𝒇𝒄 = 5000 Hz,甚至由於𝒇𝒄 = 25631250 Hz比起鄰近的頻帶,高出約10 dB,所以可能出現純音效應(pure tone effect)的異常振動。

3.      觀察dBlogarithmic座標 𝑮𝒂𝒂(𝒇):目的在瞭解對應於𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)的高貢獻頻帶,透過𝑮𝒂𝒂(𝒇)圖示,來判斷係來自哪個頻率區間的振動加速度頻譜響應。

 

如果,振動的量測是要處理振動與噪音相關的議題,除了前述的步驟外,建議也可加入加速度dBA𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)的探討,建議的順序步驟如圖示的藍色標註編號,順序步驟說明如下:

 

1.      觀察𝑳𝒂,𝒆𝒒 dBA:也就是瞭解振動加速度總量A加權OA(overall value),亦即均能加速度位準/加速度級,單位:dBA。本案例:𝑳𝒂,𝒆𝒒 = 118.36 dBA。此量值,和𝑳𝒂,𝒆𝒒 = 118.44 dB,幾乎相等,主要原因是主要的振動是來自高頻率的貢獻。

2.      觀察dBA𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄):目的在瞭解主要加速度貢獻頻帶。本案例,高貢獻度頻帶是 𝒇𝒄 = 4000 Hz 以及𝒇𝒄 = 5000 Hz,同時,也要注意:是否有𝒇𝒄 的振幅值,比起鄰近的頻帶振幅值,有高出10 dBA者,這是可能會出現純音效應(pure tone effect)的異常振動。

3.      觀察dBAlogarithmic座標 𝑮𝒂𝒂(𝒇):目的在瞭解對應於𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)的高貢獻頻帶,透過𝑮𝒂𝒂(𝒇)圖示,來判斷係來自哪個頻率區間的加速度頻譜響應。

4.      觀察dBAlinear座標 𝑮𝒂𝒂(𝒇):在linear座標的𝑮𝒂𝒂(𝒇)圖示,可以判斷,例如:與轉速倍頻(harmonics of rotating speed)相關的效應,或是可能的共振(resonance)影響。

5.      觀察dBlinear座標 𝑮𝒂𝒂(𝒇):目的在瞭解實際原始振動的加速度頻譜的分布狀態,常會和噪音的聲音頻譜作比較探討。

6.      觀察 𝒂(𝒕)原始量測數據:必要時可追溯量測到的加速度響應 𝒂(𝒕),是量測的原始數據(measured raw data),可以輔助佐證判斷頻譜的特徵。

 

最後,綜合一下這個單元的討論:

 

1.      回顧了先前單元:#109對一個信號進行頻譜分析的原理為何?】:振動加速度量測信號的頻譜分析流程圖,𝒂(𝒕) 𝑨(𝒇) 𝑮𝒂𝒂(𝒇) 𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) 𝑳𝒂,𝒆𝒒。數據的Analysis 分析流程是由左向右,以取得各個評估振動加速度Index 指標

2.      本單元著重在區別:𝑮𝒂𝒂(𝒇) 振動加速度功率頻譜(power spectrum)以及𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)三分之一倍頻頻譜(one third octave band spectrum),以及對應的數學學理以及數值分析。

3.      回顧了先前單元:#105甚麼是三分之一八音頻帶(one third octave band)】。重要名詞與三分之一八音頻帶的定義,包括:中心頻率(center frequency) 𝒇𝒄,下限頻率(lower bound frequency) 𝒇𝒍,上限頻率(upper bound frequency) 𝒇𝒖

4.      說明取得 𝑳𝒂,𝒆𝒒的理念:係累加 𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) 每一個 𝒇𝒄 中心頻率(central frequency)加速度位準dB,進而得到𝑳𝒂,𝒆𝒒。有兩種單位的呈現方式,分別是 dB 以及 dBAdB是原始的加速度總量,而dBA則是對比聲音A加權加速度總量。

5.      提出Diagnosis 診斷流程之建議:不同於數據的Analysis 分析流程是由左向右,Diagnosis 診斷流程則是由右向左,在振動問題的解析流程,可以區分兩種情形:一則是單獨處理振動問題,建議步驟:(1) 𝑳𝒂,𝒆𝒒 dB(2) dB𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)(3) dBlogarithmic座標 𝑮𝒂𝒂(𝒇)(4) dBlinear座標 𝑮𝒂𝒂(𝒇)(5) 𝒂(𝒕)。一則是處理振動與噪音相關的問題,有可能需要考慮dBA的頻譜,建議步驟:(1) 𝑳𝒂,𝒆𝒒 dBA(2) dBA𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)(3) dBAlogarithmic座標 𝑮𝒂𝒂(𝒇)(4) dBAlinear座標 𝑮𝒂𝒂(𝒇)(5) dBlinear座標 𝑮𝒂𝒂(𝒇)(6) 𝒂(𝒕)

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2024.02.27

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